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[經典力學]转动小球的自由下落与地面的碰撞后的反跳

[經典力學]转动小球的自由下落与地面的碰撞后的反跳

這個blog被我遺忘在角落,已經3年了。

今天寫點好玩的,來復活他。

如圖建立坐標系,小球質量為$m$,半徑為$R$,有一個繞沿$z$軸正方向的質心軸的角速度$\omega_0$,小球自由下落,下落高度為$h$。

小球第一次與地面碰撞時,受力如下圖所示。

小球與地面碰撞之後,反跳,下面求出反跳之後的運動。

设质心速度为$\vec{v}_1$ ,角速度为$\omega_1$ .

反跳的竪直方向速度為:

\[v_{1y}=\sqrt{2gh} \label{v1y}\]

由動量定理:

由角動量定理:

其中,$t_0$、$t_1$為小球和地面開始接觸和脫離接觸的時刻。

$I=\frac{2}{5}mR^2$為小球的轉動慣量。

又小球在地面上不發生滑動,有:

\[ v_{1x}=R\omega_{1} \label{noslip} \]

由上面第二、三、四,三式得:

由第二、三、四,三式可知,再之後的反跳,角速度將不再改變。兩次反跳之間,球質心做斜拋運動,初速度與水平方向夾角為:

\[ \tan\theta=\frac{\sqrt{2gh}}{R\omega_1} \label{theta} \]

質心在反跳時速度為:

\[ v_1=\sqrt{R^2\omega_1^2+2gh} \label{v1} \]

質心在兩次反跳之間的軌跡為:

\[y= x \tan\theta - \frac{g}{2v_1^2}(1+\tan\theta^2)x^2 \label{trajectory}\]