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[.經典力學]汽車過彎力學原理

[.經典力學]汽車過彎力學原理

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1.關於汽車運動的幾個基本力學分析

將水平地面上的汽車看作一勻質矩形,設質心在A且汽車質量為$m$,則汽車受重力為$mg$,四個車輪分別為$N_1$,$N_2$,$N_3$,$N_4$,其中$N_1$,$N_3$在汽車的一邊,$N_2$,$N_4$在汽車的另一邊,則有

設汽車的左右兩輪之間的距離為$a$,質心距地面的高度為$h$,分析上圖得:

\[F_1=N_1+N_3\]

\[F_2=N_2+N_4\]

根據槓桿原理:

\[F_1\times a=mg\times \frac{a}{2}\]

\[F_2\times a=mg\times \frac{a}{2}\]

得出:

\[F_1=F_2\]

且:

\[F_1 \times a + F_2 \times a =mg \times a\]

2.轉彎


設車輪與路面間的摩擦系數為$\mu$,公路彎道的曲率半徑為$R$,路面傾角為$\theta$。當汽車以速率$v$在此路面上轉彎行駛時,汽車的受力情況公式如下:

\[F_1+F_2-mg \cos\theta -m\frac{V^2 }{R} \sin\theta =0\]

\[mg \sin\theta \pm (f_1+f_2) -m\frac{V^2 }{R} \cos\theta =0\]

式中$f_1$和$f_2$是靜摩擦力,當車輪沿斜面有向下滑動趨勢時,$(f_1+f_2)$取負,當車輪沿斜面有向上滑動趨勢時,$(f_1+f_2)$取正。再分別以左、右輪觸地點和汽車的質心為矩心,用角動量定理:

\[-F_2a+mg\left ( v\frac{a}{2}cos\theta - h sin\theta \right )+ m\frac{v^2 }{R}\left ( h cos\theta +\frac{a}{2} sin\theta \right ) =0\]

\[-F_1a-mg\left ( \frac{a}{2}cos\theta + h sin\theta \right )+ m\frac{v^2 }{R}\left ( h cos\theta -\frac{a}{2} sin\theta \right ) =0\]

\[F_1\frac{a}{2}-F_2\frac{a}{2}\mp (f_1+f_2)h=0\]

設,汽車的速度為$v_0$。在彎道行駛時,汽車沿側向無滑動趨勢,即$f_1+f_2=0$,將他帶入上面的公式,分別得到:

\[v_0=\sqrt{Rg\tan\theta }\]

\[F_1=F_2\]

再將上面兩式繼續帶入,得:

\[F_1=F_2=\frac{1}{2}mg \sec\theta\]

此時,路面對車輪支撐力的合力為$f_1+f_2$,必定垂直於路面且通過汽車的質心。因此,無論以左、右輪觸地點為矩心,還是以質心為矩心,其合外力矩都為零。由此可知,汽車在彎道上以速率$v_0=\sqrt{Rg\tan\theta }$轉彎時,既無沿側向滑動的趨勢,也不可能向彎道的內、外兩側向翻到。我們把這個速率$v_0$稱為該彎道的設計速率。當車輛的速率不等於$v_0$時,車輛將會出現飄移的趨勢和側翻的趨勢。

那麼,下面我們來接著看看帥帥的飄移,和帥帥側翻

3.飄移

首先,車輛不發生飄移的條件為:

\[mg\sin\theta +(f_{1m}+f_{2m})\geq m\frac{v^2 }{R}cos\theta\]

\[mg\sin\theta -(f_{1m}+f_{2m})\leq m\frac{v^2 }{R}cos\theta\]

其中,$f_{1m}=\mu F_1$ ,$f_{2m}=\mu F_2$。且,$f_{1m}$、$f_{2m}$為最大靜摩擦力。

根據上述車輛安全轉彎的條件,有上面的方程聯立,可求出車輛在安全轉彎時不發生飄移的速率範圍為:$v_{hmin}\leq v_{h}\leq v_{hmax}$。

式中:

\[v_{hmin}=\sqrt{\frac{tan \theta - \mu }{1+\mu \tan \theta }Rg}\]

\[v_{hmax}=\sqrt{\frac{tan \theta + \mu }{1-\mu \tan \theta }Rg}\]

其中,$\left ( tan \theta \geq \mu \right )$ ,

當車輛轉彎速率$v>v_{hmax}$時,車輛將沿斜坡向外飄移

當車輛轉彎速率$v < v_{hmin}$ 時,車輛將沿斜坡向內飄移

4.側翻

汽車不發生側翻的條件為: $F_1\geq 0$;$F_2\geq 0$

由方程角動量方程聯立,可求的汽車轉彎時不發生側翻的速率範圍:$v_{fmin}\leq v_f \leq v_{fmax}$。

式中:

\[v_{fmin}=\sqrt{\frac{tan\theta - \frac{a}{2h}}{1+\frac{a}{2h}tan\theta }}Rg\]

\[v_{fmin}=\sqrt{\frac{tan\theta + \frac{a}{2h}}{1-\frac{a}{2h}tan\theta }}Rg\]

其中$\left ( tan\theta \geq \frac{a}{2h} \right )$ ,當汽車轉彎的速率$v > v_{fmax}$時,汽車將向外側翻;當汽車轉彎的速率$v < v_{fmin}$時,汽車將向內側翻。

5.綜上

以上可知,車輛不發生側向翻轉的速率範圍顯然與靜摩擦力大小無關,而與車輛的質心高度有關。有些人認為「摩擦力不夠時,車輛就會發生事故」的觀點,是不全面的,車輛安全轉彎的速率區間不僅由靜摩擦力的大小來決定。來看下面三種情況:

第一種情況,

當$\mu > \frac{a}{2h}$時,可知:

\[v_{hmin} < v_{fmin}\]

\[v_{fmax} < v_{hmax}\]

若車輛轉彎速率在$v_{hmin}$到$v_{fmin}$,及$v_{fmax}$到$v_{hmax}$這個速率區間中,則車輛的翻轉將先於滑動。故,車輛安全轉彎的速率區間應是保證車輛不發生側向翻轉的速率區間。

第二種情況,

當$\mu < \frac{a}{2h}$,可知:

\[v_{fmin} < v_{hmin}\]

\[v_{hmax} < v_{fmax}\]

若車輛速率為$v > v_{hmax}$或$v < v_{hmin}$時,車輛的側向打滑和側向翻轉都會同時發生。

故,車輛的安全轉彎速度為

\[\sqrt{\frac{\tan \theta - \frac{a}{2h}}{1+\frac{a \tan \theta }{2h}}Rg}\leq v\leq \sqrt{\frac{\tan \theta + \frac{a}{2h}}{1-\frac{a \tan \theta }{2h}}Rg}\]

最後

在實際中,公路彎道的路面不會很滑,路面的傾角也不會很大,且載重汽車的質心亦不會太高,因此車輛轉彎時向內側滑動或向內側側翻的可能性很小。一般情況都是因為車輛速度過快,而導致的向外側滑動和向外側側翻。

當汽車輪距$a$一定時,車輛和路面的摩擦係數越大、質心越低,則車輛的安全速率越大。

當車輛在平地上轉彎時,在相同條件下,平地轉彎的最大安全速率比在有一定傾斜度的路面上轉彎時小得多,所以,汽車在平地高速急轉彎時更容易發生事故。

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